? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?劉徽：中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2019-3-6 青野云麓

劉徽（約225年—約295年），漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一。是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是中國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人。劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。

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《九章算術(shù)》約成書(shū)于東漢之初，共有246個(gè)問(wèn)題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列。劉徽在曹魏景初四年注《九章算術(shù)注》。

但因解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明。在這些證明中，顯示了他在眾多方面的創(chuàng)造性貢獻(xiàn)。他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根。在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則，改進(jìn)了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了'割圓術(shù)'，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法。他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.1416的結(jié)果。他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細(xì)，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說(shuō)是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。”他計(jì)算了3072邊形面積并驗(yàn)證了這個(gè)值。劉徽提出的計(jì)算圓周率的科學(xué)方法，奠定了此后千余年來(lái)中國(guó)圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位。

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劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)極多，在開(kāi)方不盡的問(wèn)題中提出“求徽數(shù)”的思想，這方法與后來(lái)求無(wú)理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計(jì)算的必要條件，而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生；在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡(jiǎn)便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問(wèn)題”；他還建立了等差級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負(fù)數(shù)等等．劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提．他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而把《九章算術(shù)》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上。雖然劉徽沒(méi)有寫(xiě)出自成體系的著作，但他注《九章算術(shù)》所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)際上已經(jīng)形成了一個(gè)獨(dú)具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術(shù)中提出的'割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣'，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作?！逗u算經(jīng)》一書(shū)中，劉徽精心選編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人。

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代表著作

著作簡(jiǎn)介

其代表作《九章算術(shù)注》是對(duì)《九章算術(shù)》一書(shū)的注解?！毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)流傳至今最古老的數(shù)學(xué)專著之一，它成書(shū)于西漢時(shí)期。這部書(shū)的完成經(jīng)過(guò)了一段歷史過(guò)程，書(shū)中所收集的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，有些是秦以前流傳的問(wèn)題，長(zhǎng)期以來(lái)經(jīng)過(guò)多人刪補(bǔ)、修訂，最后由西漢時(shí)期的數(shù)學(xué)家整理完成?，F(xiàn)今流傳的定本的內(nèi)容在東漢之前已經(jīng)形成?！毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)最重要的一部經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，它的完成奠定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有極為重要的地位。現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》共收集了246個(gè)應(yīng)用問(wèn)題和各種問(wèn)題的解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。

《九章算術(shù)》的產(chǎn)生是社會(huì)發(fā)展和數(shù)學(xué)知識(shí)長(zhǎng)期積累的結(jié)果，它匯集了不同時(shí)期數(shù)學(xué)家的勞動(dòng)成果。三國(guó)時(shí)的數(shù)學(xué)家劉徽認(rèn)為：“周公制禮有九數(shù)，九數(shù)之流，則《九章》是矣。……漢北平侯張蒼、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補(bǔ)。故校其目則與古或異，而所論多近語(yǔ)也?！备鶕?jù)劉徽的考證結(jié)果，《九章算術(shù)》源于周公時(shí)代的“九數(shù)”，而他所見(jiàn)到的《九章算術(shù)》是西漢時(shí)的張蒼、耿壽昌在先秦遺文的基礎(chǔ)上刪補(bǔ)而成的，其中包括了大量西漢時(shí)補(bǔ)充的內(nèi)容。根據(jù)歷史文獻(xiàn)和出土文物資料來(lái)分析，劉徽所言是可信的。《九章算術(shù)》所包含的各種算法是漢朝數(shù)學(xué)家們?cè)谇匾郧傲鱾飨聛?lái)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，適應(yīng)當(dāng)時(shí)的需要補(bǔ)充修訂而成的。按照劉徽的考證，張蒼和耿壽昌都是參加過(guò)修訂工作的主要數(shù)學(xué)家?！妒酚?張丞相列傳》記載，張蒼（約前250～前152）經(jīng)歷了秦、漢兩個(gè)朝代，他在高帝六年（前201）以攻藏茶有功封為北平侯?！白郧貢r(shí)為柱下史，明天下圖書(shū)計(jì)籍。又善用算律歷?！彼€“著書(shū)18篇，言陰陽(yáng)律歷事?！惫鄄纳昴甏辉?，漢宣帝時(shí)官至大司農(nóng)中丞，“以善為算，能商功利”得寵于皇帝（見(jiàn)《漢書(shū)?食貨志》）。他于天文學(xué)主張渾天說(shuō)，甘露二年（前52）奏“以圓儀度日月行，考驗(yàn)天運(yùn)狀”（見(jiàn)《后漢書(shū)?律歷志》）。張蒼和耿壽昌都是數(shù)學(xué)名家，又身居高位，由他們主持修訂先秦流傳下來(lái)的《算術(shù)》是很自然的事情。根據(jù)劉徽的記載，他所注釋的《九章算術(shù)》最后是由耿壽昌刪定的。我們認(rèn)為耿壽昌刪補(bǔ)《九章算術(shù)》的年代可以定為這部書(shū)完成的年代。

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著作影響

《九章算術(shù)》是由國(guó)家組織力量編纂的一部官方性數(shù)學(xué)教科書(shū)，對(duì)兩漢時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響?！稄V韻》卷四有“九章術(shù)，漢許商、杜志、吳陳熾、王粲并善之”，《后漢書(shū)?馬援傳》有馬續(xù)（約70～141）“博觀群籍，善九章算術(shù)”負(fù)記載。此外，史書(shū)中還有鄭玄（127～200）、劉洪等人“通九章算術(shù)”的記述?？芍摃?shū)是當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要教材，在東漢光和二年（179）一塊銅版上的銘文規(guī)定：“大司農(nóng)以戊寅（138？）詔書(shū)，……特更為諸州作銅斗、斜、稱。依黃鐘律歷，《九章算術(shù)》以均長(zhǎng)短、輕重、大小，以齊七政，令海內(nèi)都同?！边@說(shuō)明該書(shū)在東漢時(shí)期不僅廣為流傳，而且度量衡研制涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題也要以書(shū)中的算法為依據(jù)。許商、杜志可能是《九章算書(shū)》成書(shū)后最早研究過(guò)該書(shū)的數(shù)學(xué)家。許商、杜志都是西漢后期的數(shù)學(xué)家?！稘h書(shū)?藝文志》著錄有《許商算術(shù)》26卷、《杜志算術(shù)》16卷。這兩部書(shū)都是漢成帝三年（前26）尹咸校對(duì)數(shù)術(shù)著作之前撰寫(xiě)的。許商、杜志的著作完成年代與耿壽昌刪補(bǔ)《九章算術(shù)》的年代相去不遠(yuǎn)，他們的數(shù)學(xué)著作應(yīng)當(dāng)是在研究了《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上完成的。

《九章算術(shù)》不僅在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有重要地位，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻(xiàn)。分?jǐn)?shù)理論及其完整的算法，比例和比例分配算法，面積和體積算法，以及各類應(yīng)用問(wèn)題的解法，在書(shū)中的方田、粟米、衰分、商功、均輸?shù)日乱延辛讼喈?dāng)詳備的敘述。而少?gòu)V、盈不足、方程、勾股等章中的開(kāi)立方法、盈不足術(shù)（雙假設(shè)法）、正負(fù)數(shù)概念、線性聯(lián)立方程組解法、整數(shù)勾股弦的一般公式等內(nèi)容都是世界數(shù)學(xué)史上的卓越成就。 傳本《九章算術(shù)》有劉徽注和唐李淳風(fēng)等的注釋。劉徽是中國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家，他生活在三國(guó)時(shí)代的魏國(guó)?！端鍟?shū)?律歷志》論歷代量制引商功章注，說(shuō)“魏陳留王景元四年（263）劉徽注《九章》?！彼纳讲豢稍斂?。劉徽的《九章》注不僅在整理古代數(shù)學(xué)體系和完善古算 理論方面取得了重要成就，而且提出了豐富多彩的創(chuàng)見(jiàn)和發(fā)明。劉徽在算術(shù)、代數(shù)、幾何等方面都有杰出的貢獻(xiàn)。例如，他用比率理論建立了數(shù)與式的統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，他應(yīng)用了出入相補(bǔ)原理和極限方法解決了許多面積和體積問(wèn)題，建立了獨(dú)具風(fēng)格的面積和體積理論。他對(duì)《九章》中的許多結(jié)論給出了嚴(yán)格的證明，他的一些方法對(duì)后世有很大啟發(fā)，即使對(duì)現(xiàn)今數(shù)學(xué)也有可借鑒之處。

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慶祝“圓周率日”別忘了他們 ——?jiǎng)⒒掌?

劉徽于三國(guó)魏景元四年（公元263年）為 《九章算術(shù)》做注，提出用割圓術(shù)計(jì)算圓周率的方法，計(jì)算出正192邊形的面積，得到圓周率的近似值為157/50 (即 3.14)，在此基礎(chǔ)上又計(jì)算出正3072邊形的面積，得到近似值為3927/1250 (即 3.1416)。劉徽后撰《重差》、《魯史欹器圖》、《九章重差圖》，唐代失傳。名言：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣。

在中國(guó)，提到圓周率，首先闖入人們腦海的名字無(wú)疑是祖沖之，他已經(jīng)被默認(rèn)為是中國(guó)的“圓周率鼻祖”，就像說(shuō)仁想到孔子，說(shuō)木工活想到魯班一樣自然和根深蒂固。但從現(xiàn)存的史料來(lái)看，我國(guó)古代精確計(jì)算圓周率的數(shù)學(xué)家，應(yīng)當(dāng)首推魏晉時(shí)期的劉徽，他比祖沖之早入手這個(gè)問(wèn)題兩百多年。

提到劉徽，不得不提我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一部經(jīng)典——《九章算術(shù)》。后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始接觸、學(xué)習(xí)、研究并熱愛(ài)上數(shù)學(xué)，從此走上了一條跟圖形與數(shù)字糾纏不清的“不歸路”。正是因?yàn)椤毒耪滤阈g(shù)》無(wú)可撼動(dòng)的經(jīng)典地位，數(shù)學(xué)家們爭(zhēng)相為其作注，其中最負(fù)盛名的當(dāng)屬劉徽所注，稱為《九章算術(shù)注》。后者雖然是前者的注解，但光芒卻在一定程度上覆蓋了前者。如同讀錢(qián)鐘書(shū)先生的《宋詩(shī)選注》，先生評(píng)注之精彩喧賓奪主。因?yàn)椤毒耪滤阈g(shù)注》的空前成功，讓人們一時(shí)忘卻了本應(yīng)是先入為主的《九章算術(shù)》，就好像在婚禮現(xiàn)場(chǎng)，伴娘卻比新娘漂亮，搜刮走了賓客們的目光及注意。

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現(xiàn)在，讓我們回過(guò)頭來(lái)看看《九章算術(shù)》，其首章“方田章”就討論了各種幾何圖形的度量問(wèn)題，并且提供了求圓面積的“圓田術(shù)”，文中道出了我們今天所通用的方法，即圓面積等于圓周長(zhǎng)和半徑兩者乘積之半。但這里只給出了一個(gè)概括性質(zhì)的方法，或者說(shuō)，只給了一個(gè)目的地，但是如何通往這個(gè)目的的路卻并沒(méi)有鋪設(shè)出來(lái)。通俗來(lái)講，就好像是出了一道難題，然后直接寫(xiě)出答案，卻并沒(méi)有給出詳細(xì)的求證過(guò)程。對(duì)于一般人來(lái)說(shuō)，知道答案就已經(jīng)足夠，沒(méi)有興趣，或者有興趣也沒(méi)有能力去勘破這其中奧秘?？蓜⒒詹皇且话闳?，他通過(guò)刻苦認(rèn)真的研究，最終為這篇“圓田術(shù)”進(jìn)行了清晰的注解，后世稱為《割圓術(shù)》?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為祖沖之計(jì)算圓周率的方法就得益于《割圓術(shù)》。

《割圓術(shù)》全文不過(guò)1800余字，卻是數(shù)學(xué)史上一篇不折不扣的千古奇文，這是人類歷史上，首次向圓面積極限計(jì)算的一次沖鋒，同時(shí)給出了一個(gè)完整的成熟的計(jì)算圓周率的高效算法。全篇文章分為三個(gè)部分對(duì)圓周率的計(jì)算進(jìn)行了翔實(shí)的闡述。

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在第一部分，無(wú)獨(dú)有偶，劉徽跟找支點(diǎn)撬地球玩的阿基米德前輩一樣想到了內(nèi)接正邊形的方法。劉徽首先從正六邊形開(kāi)始，然后依次乘2分割出內(nèi)接正12邊形、24邊形、48邊形……劉徽提出了猜想，在無(wú)限地?cái)U(kuò)大之后，終會(huì)有一個(gè)非常接近圓面積的正邊形，求出它的極限值即可獲得所求圓的面積，繼而得出可接受誤差范圍之內(nèi)的π值。

到了第二部分，就是把第一部分的猜想實(shí)驗(yàn)之?？梢哉f(shuō)，第一部分就是繪畫(huà)了一副施工圖，第二部分就是開(kāi)槽、打地基、搬磚和泥把這個(gè)圖紙上的二維建筑謄到現(xiàn)實(shí)世界。這本應(yīng)該是一個(gè)繁瑣耗時(shí)的工程，但是劉徽的算法避開(kāi)了外切多邊形，巧妙地節(jié)省了計(jì)算量，使得他在割到正96邊形的時(shí)候，就取得了阿基米德曾獲得的3.14的精確結(jié)果。

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到了第三部分，則是在算法實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，最大限度地觸摸到π的長(zhǎng)度。后人證明，如果按照劉徽的計(jì)算方法，不斷地分割下去，到內(nèi)接正24576邊形時(shí)就可以獲得祖沖之當(dāng)時(shí)的計(jì)算結(jié)果，即3.14159265?？墒沁@一切都是借助于現(xiàn)代高度發(fā)達(dá)的計(jì)算機(jī)來(lái)完成的。在古代只有算籌之類簡(jiǎn)單，甚至可以說(shuō)是簡(jiǎn)陋的運(yùn)算工具，可想而知，要想完成如此繁重的計(jì)算量簡(jiǎn)直比登天還難。但是劉徽卻提供了一種讓人拍案叫絕的精加工方法，他將割到192邊形的幾個(gè)浮動(dòng)的近似值，通過(guò)簡(jiǎn)單的加權(quán)平均，獲得了具有4位有效數(shù)字的圓周率：3.1416。而如果要取得這個(gè)值，按照之前的算法則需要切割到3072邊形。事實(shí)上，越往后面，每一次切割都需要比前一次更加復(fù)雜和困難的計(jì)算。從192到3072，不僅僅是一個(gè)數(shù)字的差值，這無(wú)疑是一個(gè)質(zhì)的飛躍。即使在一千多年之后的今天，劉徽所提出的優(yōu)化算法設(shè)計(jì)的思想深度仍然是矗立在圓周率高精度計(jì)算這一領(lǐng)域中一座豐碑，為后人所瞻仰。