? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?柯西：微積分發(fā)展史上的精華
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2019-5-8 青野云麓
柯西(Cauchy, 1789—1857)是法國數(shù)學家、物理學家、天文學家。19世紀初期，微積分已發(fā)展成一個龐大的分支,，內容豐富，應用非常廣泛。與此同時，它的薄弱之處也越來越暴露出來，微積分的理論基礎并不嚴格。為解決新問題并澄清微積分概念，數(shù)學家們展開了數(shù)學分析嚴謹化的工作，在分析基礎的奠基工作中，做出卓越貢獻的要首推偉大的數(shù)學家柯西。
柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學的律師，與當時法國的大數(shù)學家拉格朗日與拉普拉斯交往密切?？挛魃倌陼r代的數(shù)學才華頗受這兩位數(shù)學家的贊賞，并預言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建議“趕快給柯西一種堅實的文學教育”，以便他的愛好不致把他引入歧途。父親因此加強了對柯西的文學教養(yǎng)，使他在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。
1807年至1810年柯西在工學院學習，曾當過交通道路工程師。由于身體欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而致力于純數(shù)學的研究?？挛髟跀?shù)學上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的精華，也是柯西對人類科學發(fā)展所做的巨大貢獻。
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1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻畫，后經魏爾斯特拉斯改進，成為現(xiàn)在所說的柯西極限定義或叫定義。當今所有微積分的教科書都還（至少是在本質上）沿用著柯西等人關于極限、連續(xù)、導數(shù)、收斂等概念的定義。他對微積分的解釋被后人普遍采用?？挛鲗Χǚe分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運算之前，強調必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴格證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來魏爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學分析的基本概念得到嚴格的論述。從而結束微積分二百年來思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對幾何概念、運動和直觀了解的完全依賴中解放出來，并使微積分發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學最基礎最龐大的數(shù)學學科。
數(shù)學分析嚴謹化的工作一開始就產生了很大的影響。在一次學術會議上柯西提出了級數(shù)收斂性理論。會后，拉普拉斯急忙趕回家中，根據(jù)柯西的嚴謹判別法，逐一檢查其巨著《天體力學》中所用到的級數(shù)是否都收斂。
柯西在其它方面的研究成果也很豐富。復變函數(shù)的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在代數(shù)方面、理論物理、光學、彈性理論方面，也有突出貢獻?？挛鞯臄?shù)學成就不僅輝煌，而且數(shù)量驚人?？挛魅?7卷，其論著有800多篇，在數(shù)學史上是僅次于歐拉的多產數(shù)學家。他的光輝名字與許多定理、準則一起銘記在當今許多教材中。
作為一位學者，他思路敏捷，功績卓著。從柯西卷帙浩大的論著和成果，人們不難想象他一生是怎樣孜孜不倦地勤奮工作。但柯西卻是個具有復雜性格的人。他是忠誠的保王黨人，熱心的天主教徒，落落寡合的學者。尤其作為久負盛名的科學泰斗，他常常忽視青年學者的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學家阿貝爾與伽羅華的開創(chuàng)性的論文手稿，造成群論晚問世約半個世紀。
1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他臨終的一句名言“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績永存。”長久地叩擊著一代又一代學子的心扉。
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柯西在純數(shù)學和應用數(shù)學的功力是相當深厚的，在數(shù)學寫作上，他是被認為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經典之作，不過并不是他所有的創(chuàng)作質量都很高，因此他還曾被人批評高產而輕率，這點倒是與數(shù)學王子相反，據(jù)說，法國科學院''會刊''創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院后來規(guī)定論文最長的只能有四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其它地方。
柯西在幼年時，他的父親常帶領他到法國參議院內的辦公室，并且在那里指導他進行學習，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學家。他們對他的才能十分賞識；拉格朗日認為他將來必定會成為大數(shù)學家，但建議他的父親在他學好文科前不要學數(shù)學。
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個人軼事
綽號
柯西在學生時代，有個綽號叫『苦瓜』，因為他平常像一顆苦瓜一樣，靜靜地不說話，如果說了什么，也很簡短，令人摸不著頭緒，和這種人溝通，是很痛苦的?？挛鞯纳磉厸]有朋友，只有一群妒嫉他聰明的人。當時法國正在流行社會哲學，柯西工作之余?？吹臅?，卻是拉格朗日(Joseph Louis Lagrance，1736-1813)的數(shù)學書，與靈修書籍《效法基督》，這使他贏得另一個外號『腦筋劈哩啪啦叫的人』，意即神經病。
柯西的母親聽到了傳言，就寫信問他實情。柯西回信道：『如果基督徒會變成精神病人，那瘋人院早就被哲學家充滿了。親愛的母親，您的孩子像原野上的風車，數(shù)學和信仰就是他的雙翼一樣，當風吹來的時候，風車就會平衡地旋轉，產生幫助別人的動力?！?/span>
1816年，柯西回到巴黎，擔任母校的數(shù)學教授，柯西自己寫道：『我像是找到自己河道的鮭魚一般地興奮?！徊痪盟徒Y婚，幸福的婚姻生活，有助于他與別人溝通的能力。
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出名
數(shù)學大師伯努利曾說過：『只有數(shù)學能夠探討「無窮」，而「無窮」正是上帝的屬性之一』。物理、化學、生物都是有限之內的學科，『無窮』才能代表永遠測不透的極限?！簾o窮』的觀念令哲學家瘋征、讓神學家嘆息，使許多人深感懼怕?？挛鲄s把『無窮』應用來厘定更精確的數(shù)學含義，他把數(shù)學的微分看或是『無窮小時的變化』，把積分表示為『無窮多個無窮小之和』?？挛饔脽o窮重新定義微積分，至今仍為每一本微積分課本的開宗明義篇。
1821年，柯西的名聲遠播。遠自柏林、馬德里、圣彼得堡的學生，都來到他的教室里上課，他又發(fā)表非常有名的『特征值』理論，同時寫道：『在純數(shù)學的領域里，似乎沒有實際的物理現(xiàn)象來印證，也沒有自然界的事物可說明，但那是數(shù)學家遙遙望見的應許之地。理論數(shù)學家不是一個發(fā)現(xiàn)者，而是這個應許之地的報導者』。
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晚年
四十歲后的柯西不愿對新政府效忠，他認為學術應有不受政治影響的自由。他放棄工作與祖國，帶著妻子到瑞士、意大利旅行教書，各地大學都很歡迎他。但是他寫道：『對數(shù)學的興奮，是身體無法長期的負荷，累！』柯西四十歲后，下課后就不再做研究工作了。
他身體逐漸衰弱，一八三八年他再回巴黎大學教書，但為政治效忠問題再度離開。因著他的堅持，一八四八年法國通過大學教授的學術自由，是以個人的良心為底限，不在政治限制之內。從此世界各大學紛紛跟進這個制度，大學成為學術自由的地方。
巴黎紙貴
傳說柯西年輕的時候向巴黎科學院學報投論文，非常之快，非常之多使得印刷廠為了印制這些論文搶購了巴黎市所有紙店的存貨，使得市面上紙張短缺，紙價大增，印刷廠成本上升，于是科學院通過決議，以后發(fā)表論文每篇篇幅不得超過4頁?？挛鞑簧匍L篇論文不得在本國發(fā)表，只能改投別國刊物。
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個人成就
柯西是一位著名的多產數(shù)學家，他的全集從1882年開始出版到1974年才出齊最后一卷，總計28卷。他的主要貢獻如下；
單復變函數(shù)
柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關于單復變函數(shù)論的。18世紀的數(shù)學家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義。柯西首先闡明了有關概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。
分析基礎
柯西在綜合工科學校所授分析課程及有關教材給數(shù)學界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分（即無窮小分析，簡稱分析）以來，這門學科的理論基礎是模糊的。為了進一步發(fā)展，必須建立嚴格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論。
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極限論的功能
設函數(shù)f(x）在點x。的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x）當x→x。時的極限。
“嚴格來說，沒有數(shù)學證明這種東西，分析到最后，除了指指點點，我們什么也不會干；……證明就是我和李托伍德叫做神吹的那套玩意兒，是編出來打動人心的花言巧語，是上課夠在黑板上的圖畫，是激發(fā)學生想象力的手法?！薄?。
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數(shù)學太重要了，在中國與語文學有著同樣的地位。其原因就在于數(shù)學本身就是一種語言，而且是一種世界語言，具有普遍性。所以，嚴格的區(qū)分數(shù)學概念的詞性，是非常有必要的，不僅是數(shù)學本身的要求，也是語言科學的要求。
總之，柯西是一位非常偉大的科學家。