世界七大數(shù)學(xué)難題

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2017-12-29 青野云麓

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20世紀(jì)是數(shù)學(xué)大發(fā)展的一個(gè)世紀(jì)。數(shù)學(xué)的許多重大難題得到完滿解決， 如費(fèi)馬大定理的證明，有限單群分類工作的完成等， 從而使數(shù)學(xué)的基本理論得到空前發(fā)展。

效法希爾伯特， 許多當(dāng)代世界著名的數(shù)學(xué)家在過去幾年中整理和提出新的數(shù)學(xué)難題，希冀為新世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展指明方向。 這些數(shù)學(xué)家知名度是高的， 但他們的這項(xiàng)行動(dòng)并沒有引起世界數(shù)學(xué)界的共同關(guān)注。

2000年初美國克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會(huì)選定了七個(gè)"千年大獎(jiǎng)問題"，克雷數(shù)學(xué)研究所的董事會(huì)決定建立七百萬美元的大獎(jiǎng)基金，每個(gè)"千年大獎(jiǎng)問題"的解決都可獲得百萬美元的獎(jiǎng)勵(lì)。克雷數(shù)學(xué)研究所"千年大獎(jiǎng)問題"的選定，其目的不是為了形成新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的新方向， 而是集中在對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有中心意義、數(shù)學(xué)家們夢(mèng)寐以求而期待解決的重大難題。

2000年5月24日，千年數(shù)學(xué)會(huì)議在著名的法蘭西學(xué)院舉行。會(huì)上，97年費(fèi)爾茲獎(jiǎng)獲得者伽沃斯以"數(shù)學(xué)的重要性"為題作了演講，其后，塔特和阿啼亞公布和介紹了這七個(gè)"千年大獎(jiǎng)問題"。克雷數(shù)學(xué)研究所還邀請(qǐng)有關(guān)研究領(lǐng)域的專家對(duì)每一個(gè)問題進(jìn)行了較詳細(xì)的詳述?？死讛?shù)學(xué)研究所對(duì)"千年大獎(jiǎng)問題"的解決與獲獎(jiǎng)作了嚴(yán)格規(guī)定。每一個(gè)"千年大獎(jiǎng)問題"獲得解決并不能立即得獎(jiǎng)。任何解決答案必須在具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表兩年后且得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可，才有可能由克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會(huì)審查決定是否值得獲得百萬美元大獎(jiǎng)。

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世界七大數(shù)學(xué)難題

一、千年大獎(jiǎng)問題

美國麻州的克雷(Clay)數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事:對(duì)七個(gè)"千年數(shù)學(xué)難題"的每一個(gè)懸賞一百萬美元。其中有一個(gè)已被解決(龐加萊猜想),還剩六個(gè).(龐加萊猜想，已由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼破解。)"千年大獎(jiǎng)問題"公布以來， 在世界數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了強(qiáng)烈反響。這些問題都是關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的，但這些問題的解決將對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用的深化產(chǎn)生巨大推動(dòng)。認(rèn)識(shí)和研究"千年大獎(jiǎng)問題"已成為世界數(shù)學(xué)界的熱點(diǎn)。不少國家的數(shù)學(xué)家正在組織聯(lián)合攻關(guān)?？梢灶A(yù)期，"千年大獎(jiǎng)問題" 將會(huì)改變新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程。

二、P問題對(duì)NP問題

????? 在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。

與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因式分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項(xiàng)式非確定性問題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問題的邏輯運(yùn)算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)計(jì)算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個(gè)確定性算法，可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢?這就是著名的NP=P?的猜想。 不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來驗(yàn)證，還是沒有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克于1971年陳述的。

三、霍奇(Hodge)猜想

二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃栐谠鯓拥某潭壬?，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣。

最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

四、龐加萊(Poincare)猜想

如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說，蘋果表面是"單連通的"，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問題。這個(gè)問題立即變得無比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。

在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱證明了幾何化猜想。

在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發(fā)表論文補(bǔ)全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié)。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特;哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛;以及理海大學(xué)的曹懷東和中山大學(xué)的朱熹平。

2006年8月，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)授予佩雷爾曼菲爾茲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

五、黎曼(Riemann)假設(shè)

有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等。這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù);它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式;然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s)的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明。

六、楊-米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口

量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系?；跅?米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí):布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。

盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于"夸克"的不可見性的解釋中應(yīng)用的"質(zhì)量缺口"假設(shè)，從來沒有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。

七、納維葉-斯托克斯方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解納維葉-斯托克斯方程的解，來對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開隱藏在納維葉-斯托克斯方程中的奧秘。

解開這些數(shù)學(xué)難題，可以幫助科學(xué)達(dá)到進(jìn)一步的發(fā)展，許多難題也會(huì)隨之迎刃而解。而你們就是解決這些問題的最好人選，加油！科學(xué)家們！