? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?劉徽：中國古典數(shù)學理論的奠基人之一

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2019-3-6 青野云麓

劉徽（約225年—約295年），漢族，山東濱州鄒平市人，魏晉期間偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基人之一。是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是中國最寶貴的數(shù)學遺產。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人。劉徽的一生是為數(shù)學刻苦探求的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。

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《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四則運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列。劉徽在曹魏景初四年注《九章算術注》。

但因解法比較原始，缺乏必要的證明，劉徽則對此均作了補充證明。在這些證明中，顯示了他在眾多方面的創(chuàng)造性貢獻。他是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則，改進了線性方程組的解法。在幾何方面，提出了'割圓術'，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.1416的結果。他用割圓術，從直徑為2尺的圓內接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼嬎懔?072邊形面積并驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周率的科學方法，奠定了此后千余年來中國圓周率計算在世界上的領先地位。

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劉徽在數(shù)學上的貢獻極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計算的必要條件，而且促進了十進小數(shù)的產生；在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國數(shù)學史上第一次提出了“不定方程問題”；他還建立了等差級數(shù)前n項和公式；提出并定義了許多數(shù)學概念：如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負數(shù)等等．劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提．他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴謹，從而把《九章算術》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術》所運用的數(shù)學知識，實際上已經形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術中提出的'割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣'，這可視為中國古代極限觀念的佳作。《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人。

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代表著作

著作簡介

其代表作《九章算術注》是對《九章算術》一書的注解?！毒耪滤阈g》是中國流傳至今最古老的數(shù)學專著之一，它成書于西漢時期。這部書的完成經過了一段歷史過程，書中所收集的各種數(shù)學問題，有些是秦以前流傳的問題，長期以來經過多人刪補、修訂，最后由西漢時期的數(shù)學家整理完成?，F(xiàn)今流傳的定本的內容在東漢之前已經形成?！毒耪滤阈g》是中國最重要的一部經典數(shù)學著作，它的完成奠定了中國古代數(shù)學發(fā)展的基礎，在中國數(shù)學史上占有極為重要的地位?，F(xiàn)傳本《九章算術》共收集了246個應用問題和各種問題的解法，分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。

《九章算術》的產生是社會發(fā)展和數(shù)學知識長期積累的結果，它匯集了不同時期數(shù)學家的勞動成果。三國時的數(shù)學家劉徽認為：“周公制禮有九數(shù)，九數(shù)之流，則《九章》是矣?！瓭h北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論多近語也?！备鶕?jù)劉徽的考證結果，《九章算術》源于周公時代的“九數(shù)”，而他所見到的《九章算術》是西漢時的張蒼、耿壽昌在先秦遺文的基礎上刪補而成的，其中包括了大量西漢時補充的內容。根據(jù)歷史文獻和出土文物資料來分析，劉徽所言是可信的?！毒耪滤阈g》所包含的各種算法是漢朝數(shù)學家們在秦以前流傳下來的數(shù)學基礎上，適應當時的需要補充修訂而成的。按照劉徽的考證，張蒼和耿壽昌都是參加過修訂工作的主要數(shù)學家?！妒酚?張丞相列傳》記載，張蒼（約前250～前152）經歷了秦、漢兩個朝代，他在高帝六年（前201）以攻藏茶有功封為北平侯?！白郧貢r為柱下史，明天下圖書計籍。又善用算律歷?！彼€“著書18篇，言陰陽律歷事。”耿壽昌的生年年代不詳，漢宣帝時官至大司農中丞，“以善為算，能商功利”得寵于皇帝（見《漢書?食貨志》）。他于天文學主張渾天說，甘露二年（前52）奏“以圓儀度日月行，考驗天運狀”（見《后漢書?律歷志》）。張蒼和耿壽昌都是數(shù)學名家，又身居高位，由他們主持修訂先秦流傳下來的《算術》是很自然的事情。根據(jù)劉徽的記載，他所注釋的《九章算術》最后是由耿壽昌刪定的。我們認為耿壽昌刪補《九章算術》的年代可以定為這部書完成的年代。

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著作影響

《九章算術》是由國家組織力量編纂的一部官方性數(shù)學教科書，對兩漢時期數(shù)學的發(fā)展產生了很大的影響?！稄V韻》卷四有“九章術，漢許商、杜志、吳陳熾、王粲并善之”，《后漢書?馬援傳》有馬續(xù)（約70～141）“博觀群籍，善九章算術”負記載。此外，史書中還有鄭玄（127～200）、劉洪等人“通九章算術”的記述?？芍摃钱敃r學習數(shù)學的重要教材，在東漢光和二年（179）一塊銅版上的銘文規(guī)定：“大司農以戊寅（138？）詔書，……特更為諸州作銅斗、斜、稱。依黃鐘律歷，《九章算術》以均長短、輕重、大小，以齊七政，令海內都同?！边@說明該書在東漢時期不僅廣為流傳，而且度量衡研制涉及的數(shù)學問題也要以書中的算法為依據(jù)。許商、杜志可能是《九章算書》成書后最早研究過該書的數(shù)學家。許商、杜志都是西漢后期的數(shù)學家。《漢書?藝文志》著錄有《許商算術》26卷、《杜志算術》16卷。這兩部書都是漢成帝三年（前26）尹咸校對數(shù)術著作之前撰寫的。許商、杜志的著作完成年代與耿壽昌刪補《九章算術》的年代相去不遠，他們的數(shù)學著作應當是在研究了《九章算術》的基礎上完成的。

《九章算術》不僅在中國數(shù)學史上占有重要地位，對世界數(shù)學的發(fā)展也有著重要的貢獻。分數(shù)理論及其完整的算法，比例和比例分配算法，面積和體積算法，以及各類應用問題的解法，在書中的方田、粟米、衰分、商功、均輸?shù)日乱延辛讼喈斣攤涞臄⑹?。而少廣、盈不足、方程、勾股等章中的開立方法、盈不足術（雙假設法）、正負數(shù)概念、線性聯(lián)立方程組解法、整數(shù)勾股弦的一般公式等內容都是世界數(shù)學史上的卓越成就。 傳本《九章算術》有劉徽注和唐李淳風等的注釋。劉徽是中國古代杰出的數(shù)學家，他生活在三國時代的魏國?！端鍟?律歷志》論歷代量制引商功章注，說“魏陳留王景元四年（263）劉徽注《九章》?！彼纳讲豢稍斂?。劉徽的《九章》注不僅在整理古代數(shù)學體系和完善古算 理論方面取得了重要成就，而且提出了豐富多彩的創(chuàng)見和發(fā)明。劉徽在算術、代數(shù)、幾何等方面都有杰出的貢獻。例如，他用比率理論建立了數(shù)與式的統(tǒng)一的理論基礎，他應用了出入相補原理和極限方法解決了許多面積和體積問題，建立了獨具風格的面積和體積理論。他對《九章》中的許多結論給出了嚴格的證明，他的一些方法對后世有很大啟發(fā)，即使對現(xiàn)今數(shù)學也有可借鑒之處。

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慶祝“圓周率日”別忘了他們 ——劉徽篇?

劉徽于三國魏景元四年（公元263年）為 《九章算術》做注，提出用割圓術計算圓周率的方法，計算出正192邊形的面積，得到圓周率的近似值為157/50 (即 3.14)，在此基礎上又計算出正3072邊形的面積，得到近似值為3927/1250 (即 3.1416)。劉徽后撰《重差》、《魯史欹器圖》、《九章重差圖》，唐代失傳。名言：割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。

在中國，提到圓周率，首先闖入人們腦海的名字無疑是祖沖之，他已經被默認為是中國的“圓周率鼻祖”，就像說仁想到孔子，說木工活想到魯班一樣自然和根深蒂固。但從現(xiàn)存的史料來看，我國古代精確計算圓周率的數(shù)學家，應當首推魏晉時期的劉徽，他比祖沖之早入手這個問題兩百多年。

提到劉徽，不得不提我國數(shù)學史上的一部經典——《九章算術》。后世的數(shù)學家，大都是從《九章算術》開始接觸、學習、研究并熱愛上數(shù)學，從此走上了一條跟圖形與數(shù)字糾纏不清的“不歸路”。正是因為《九章算術》無可撼動的經典地位，數(shù)學家們爭相為其作注，其中最負盛名的當屬劉徽所注，稱為《九章算術注》。后者雖然是前者的注解，但光芒卻在一定程度上覆蓋了前者。如同讀錢鐘書先生的《宋詩選注》，先生評注之精彩喧賓奪主。因為《九章算術注》的空前成功，讓人們一時忘卻了本應是先入為主的《九章算術》，就好像在婚禮現(xiàn)場，伴娘卻比新娘漂亮，搜刮走了賓客們的目光及注意。

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現(xiàn)在，讓我們回過頭來看看《九章算術》，其首章“方田章”就討論了各種幾何圖形的度量問題，并且提供了求圓面積的“圓田術”，文中道出了我們今天所通用的方法，即圓面積等于圓周長和半徑兩者乘積之半。但這里只給出了一個概括性質的方法，或者說，只給了一個目的地，但是如何通往這個目的的路卻并沒有鋪設出來。通俗來講，就好像是出了一道難題，然后直接寫出答案，卻并沒有給出詳細的求證過程。對于一般人來說，知道答案就已經足夠，沒有興趣，或者有興趣也沒有能力去勘破這其中奧秘。可劉徽不是一般人，他通過刻苦認真的研究，最終為這篇“圓田術”進行了清晰的注解，后世稱為《割圓術》?，F(xiàn)代數(shù)學家們普遍認為祖沖之計算圓周率的方法就得益于《割圓術》。

《割圓術》全文不過1800余字，卻是數(shù)學史上一篇不折不扣的千古奇文，這是人類歷史上，首次向圓面積極限計算的一次沖鋒，同時給出了一個完整的成熟的計算圓周率的高效算法。全篇文章分為三個部分對圓周率的計算進行了翔實的闡述。

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在第一部分，無獨有偶，劉徽跟找支點撬地球玩的阿基米德前輩一樣想到了內接正邊形的方法。劉徽首先從正六邊形開始，然后依次乘2分割出內接正12邊形、24邊形、48邊形……劉徽提出了猜想，在無限地擴大之后，終會有一個非常接近圓面積的正邊形，求出它的極限值即可獲得所求圓的面積，繼而得出可接受誤差范圍之內的π值。

到了第二部分，就是把第一部分的猜想實驗之?？梢哉f，第一部分就是繪畫了一副施工圖，第二部分就是開槽、打地基、搬磚和泥把這個圖紙上的二維建筑謄到現(xiàn)實世界。這本應該是一個繁瑣耗時的工程，但是劉徽的算法避開了外切多邊形，巧妙地節(jié)省了計算量，使得他在割到正96邊形的時候，就取得了阿基米德曾獲得的3.14的精確結果。

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到了第三部分，則是在算法實現(xiàn)的基礎上進行優(yōu)化，最大限度地觸摸到π的長度。后人證明，如果按照劉徽的計算方法，不斷地分割下去，到內接正24576邊形時就可以獲得祖沖之當時的計算結果，即3.14159265?？墒沁@一切都是借助于現(xiàn)代高度發(fā)達的計算機來完成的。在古代只有算籌之類簡單，甚至可以說是簡陋的運算工具，可想而知，要想完成如此繁重的計算量簡直比登天還難。但是劉徽卻提供了一種讓人拍案叫絕的精加工方法，他將割到192邊形的幾個浮動的近似值，通過簡單的加權平均，獲得了具有4位有效數(shù)字的圓周率：3.1416。而如果要取得這個值，按照之前的算法則需要切割到3072邊形。事實上，越往后面，每一次切割都需要比前一次更加復雜和困難的計算。從192到3072，不僅僅是一個數(shù)字的差值，這無疑是一個質的飛躍。即使在一千多年之后的今天，劉徽所提出的優(yōu)化算法設計的思想深度仍然是矗立在圓周率高精度計算這一領域中一座豐碑，為后人所瞻仰。