祖沖之——圓周率之父

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2018-1-26 青野云麓

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祖沖之（429年－500年），字文遠(yuǎn)，范陽遒縣（今河北省淶水縣）人，南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。

祖沖之的主要成就在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械制造三個領(lǐng)域。此外歷史記載祖沖之精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。祖沖之著作很多，但大多都已失傳。最著名的事是計(jì)算出圓周率（最接近）。祖沖之的兒子祖暅之也是數(shù)學(xué)家。

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一、祖沖之簡介

祖沖之（429～500），南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。字文遠(yuǎn)。祖籍范陽逎縣（今河北淶水），先世遷居江南。父祖皆諳熟天算，學(xué)識淵博，為世人所敬重。沖之少傳家業(yè)，青年時代入華林學(xué)省，從事學(xué)術(shù)研究。此后，歷仕劉宋、南齊，官至長水校尉。他在數(shù)學(xué)、天文歷法、機(jī)械制造等方面都有重大成就?！　?/span>

在數(shù)學(xué)方面，祖沖之推算出圓周率π的不足近似值（朒數(shù)）3.1415926和過剩近似值（盈數(shù)）3.1415927，指出π的真值在盈、朒兩限之間，即3.1415926＜π＜3.1415927，并用以校算新莽嘉量斛的容積。這個圓周率值是當(dāng)時世界上最先進(jìn)的數(shù)學(xué)成就，直到15世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西（al-kāshī）和16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540～1603）才得到更精確的結(jié)果。祖沖之還確定了兩個分?jǐn)?shù)形式的圓周率值，約率π=22/7（≈3.14），密率π=355/113（≈3.1415929），其中密率是在分母小于1000條件下圓周率的最佳近似分?jǐn)?shù)。密率為祖沖之首創(chuàng)，直到16世紀(jì)才被德國數(shù)學(xué)家奧托（1550～1605）和荷蘭工程師安托尼茲（1543～1620）重新得到。在西方數(shù)學(xué)史上，這個圓周率值常被稱為安托尼茲率。

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祖沖之和其子祖暅，在劉徽工作的基礎(chǔ)上圓滿解決了球體積計(jì)算問題。他們得到下列結(jié)果：“牟合方蓋”（底徑相等的兩圓柱直交之公共部分）的體積等推算過程中提出了“冪勢既同，則積不容異（二立體等高處截面積恒相等，則二立體體積相等）”原理。這個原理，直到17世紀(jì)才為意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（1598～1647）重新提出，而被稱為卡瓦列利原理，中國現(xiàn)在一般稱為祖暅公理。據(jù)《隋書·律歷志》記載，祖沖之對于二次方程和三次方程也有所研究。所著《綴術(shù)》一書，是著名的《算經(jīng)十書》之一，曾被唐代國子監(jiān)和朝鮮、日本用做算學(xué)課本，惜已失傳。

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在天文歷法方面，祖沖之在長期觀測、精確計(jì)算和對歷史文獻(xiàn)深入研究的基礎(chǔ)上，創(chuàng)制了《大明歷》。他最早把歲差引進(jìn)歷法，提高歷法精確性，這是中國歷法史上的重大進(jìn)步。他還采用了391年有144個閏月的新閏周，突破了沿襲很久的19年7閏的傳統(tǒng)方法?！洞竺鳉v》中使用的數(shù)據(jù)，大多依據(jù)長期實(shí)測的結(jié)果，相當(dāng)精確。按照祖沖之的數(shù)據(jù)計(jì)算，一個回歸年的日數(shù)為365.24281481平太陽日。一個交點(diǎn)月的日數(shù)為27.21223平太陽日，關(guān)于木星（當(dāng)時稱歲星）每84年超辰一次的結(jié)論，相當(dāng)于求出木星公轉(zhuǎn)周期為11.858年。這些都非常接近現(xiàn)測數(shù)值。所推算的五大行星會合周期，也是當(dāng)時最好的結(jié)果。他還發(fā)明用圭表測量冬至前后若干天的正午太陽影長以定冬至?xí)r刻的方法。這個方法也為后世長期采用。

宋孝武帝大明六年（462），祖沖之上書劉宋朝廷，請求頒行《大明歷》，但遭到皇帝寵臣戴法興的反對。戴法興指責(zé)引進(jìn)歲差和改革閏周等違背了儒家經(jīng)典，是“誣天背經(jīng)”。祖沖之據(jù)理力爭，針鋒相對地寫了一篇辯駁的奏章。他表示“愿聞顯據(jù)，以核理實(shí)”，并引用歷史文獻(xiàn)和天象觀測的大量事實(shí)，逐條批駁了戴法興的論點(diǎn)。他明確指出天體運(yùn)行“有形可檢，有數(shù)可推”，是有規(guī)律的?？茖W(xué)在不斷進(jìn)步，人們不能“信古而疑今”，充分體現(xiàn)了一位科學(xué)家堅(jiān)持真理，革舊創(chuàng)新的可貴精神。但是，祖沖之生前《大明歷》未能頒行。后經(jīng)祖暅三次上書朝廷，推薦《大明歷》，終于在梁武帝天監(jiān)九年（510）被采用頒行，前后行用八十年，對后世歷家產(chǎn)生了重要的影響。

祖沖之是一位博學(xué)多才的科學(xué)家和發(fā)明家。對于機(jī)械原理也很有研究。他曾設(shè)計(jì)制造水碓磨（利用水力加工糧食的工具）、銅制機(jī)件傳動的指南車、一天能走百里的“千里船”和“木牛流馬”等水陸運(yùn)輸工具。還設(shè)計(jì)制造過漏壺（古代計(jì)時器）和巧妙的欹器，并精通音律。他的著述很多，《隋書·經(jīng)籍志》著錄有《長水校尉祖沖之集》五十一卷，散見于各種史籍記載的有《綴術(shù)》、《九章算術(shù)注》、《大明歷》、《駁戴法興奏章》、《安邊論》、《述異記》、《易老莊義》、《論語孝經(jīng)釋》等。其中大部分已失傳，現(xiàn)在僅能見到《上大明歷表》、《大明歷》、《駁戴法興奏章》、《開立圓術(shù)》等有限的幾篇。

其子祖暅、孫祖皓也都是南朝有名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家。為了紀(jì)念和表彰祖沖之在科學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)，人們建議把密率355/113稱為“祖率”，紫金山天文臺已把該臺發(fā)現(xiàn)的一顆小行星命名為“祖沖之”，在月球背面也已有了以祖沖之名字命名的環(huán)形山。

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二、主要履歷

公元420年東晉滅亡到589年，隋朝統(tǒng)一全國后的一百七十年中間，中國歷史上形成了南北對立的局面，這一時期稱作南北朝。南朝從公元420年東晉大將劉裕奪取帝位，建立宋政權(quán)開始，經(jīng)歷了宋、齊、梁、陳四個朝代。同南朝對峙的是北朝，北朝經(jīng)歷了北魏、東魏、西魏，北齊、北周等朝代。祖沖之是南朝人，出生在宋，死的時候已是南齊時期了。

當(dāng)時由于南朝社會比較安定，農(nóng)業(yè)和手工業(yè)都有顯著的進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)和文化得到了迅速發(fā)展，從而也推動了科學(xué)的前進(jìn)。因此，在這一段時期內(nèi)，南朝出現(xiàn)了一些很有成就的科學(xué)家，祖沖之就是其中最杰出的人物之一。

祖沖之的原籍是范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。在西晉末年，祖家由于故鄉(xiāng)遭到戰(zhàn)爭的破壞，遷到江南居住。祖沖之的祖父祖昌，曾在宋朝政府里擔(dān)任過大匠卿，負(fù)責(zé)主持建筑工程，是掌握了一些科學(xué)技術(shù)知識的；同時，祖家歷代對于天文歷法都很有研究。因此祖沖之從小就有接觸科學(xué)技術(shù)的機(jī)會。

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祖沖之對于自然科學(xué)和文學(xué)、哲學(xué)都有廣泛的興趣，特別是對天文、數(shù)學(xué)和機(jī)械制造，更有強(qiáng)烈的愛好和深入的鉆研。

早在青年時期，他就有了博學(xué)多才的名聲，并且被政府派到當(dāng)時的一個學(xué)術(shù)研究機(jī)關(guān)——華林學(xué)省，去做研究工作。后來他又擔(dān)任過地方官職。公元461年，他任南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）刺史府里的從事。464年，宋朝政府調(diào)他到婁縣（今江蘇昆山縣東北）作縣令。

祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續(xù)堅(jiān)持學(xué)術(shù)研究，并且取得了很大的成就。他研究學(xué)術(shù)的態(tài)度非常嚴(yán)謹(jǐn)。他十分重視古人研究的成果，但又決不迷信，完全聽從于古人。用他自己的話來說，就是：決不“虛推（盲目崇拜）古人”，而要“搜煉古今（從大量的古今著作中吸取精華）”。一方面，他對于古代科學(xué)家劉歆〔xin欣〕、張衡、闞[kan看]澤、劉徽、劉洪等人的著述都作了深入的研究，充分吸取其中一切有用的東西。另一方面，他又敢于大膽懷疑前人在科學(xué)研究方面的結(jié)論，并通過實(shí)際觀察和研究，加以修正補(bǔ)充，從而取得許多極有價值的科學(xué)成果。在天文歷法方面，他所編制的《大明歷》，是當(dāng)時最精密的歷法。在數(shù)學(xué)方面，他推算出準(zhǔn)確到六位小數(shù)的圓周率，取得了當(dāng)時世界上最優(yōu)秀的成績。

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宋朝末年，祖沖之回到建康（今南京），擔(dān)任謁者仆射的官職。從這時起，一直到齊朝初年，他花了較大的精力來研究機(jī)械制造，重造指南車，發(fā)明千里船、水碓磨等等，作出了出色的貢獻(xiàn)。

當(dāng)祖沖之晚年的時候，齊朝統(tǒng)治集團(tuán)發(fā)生了內(nèi)亂，政治腐敗黑暗，人民生活非常痛苦。北朝的魏乘機(jī)發(fā)大兵向南進(jìn)攻。

從公元494年到500年間，江南一帶又陷入戰(zhàn)火。對于這種內(nèi)憂外患重重逼迫的政治局面，祖沖之非常關(guān)心。大約在公元494年到498年之間，他擔(dān)任長水校尉的官職。當(dāng)時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發(fā)展農(nóng)業(yè)，增強(qiáng)國力，安定民生，鞏固國防。齊明帝看到了這篇文章，打算派祖沖之巡行四方，興辦一些有利于國計(jì)民生的事業(yè)。但是由于連年戰(zhàn)爭，他的建議始終沒有能夠?qū)崿F(xiàn)。過不多久，這位卓越的大科學(xué)家活到七十二歲，就在公元500年的時候去世了。

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三、成就概述

1. 數(shù)學(xué)成就

他寫的《綴術(shù)》一書，被收入著名的《算經(jīng)十書》中，作為唐代國子監(jiān)算學(xué)課本，可惜后來失傳了?！端鍟ぢ蓺v志》留下一小段關(guān)于圓周率（π）的記載，祖沖之算出π的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，簡化成3.1415926，成為當(dāng)時世界上最先進(jìn)的成就。祖沖之入選世界紀(jì)錄協(xié)會世界第一位將圓周率值計(jì)算到小數(shù)第7位的科學(xué)家，創(chuàng)造了中國紀(jì)協(xié)世界之最。這一紀(jì)錄直到1596年由荷蘭數(shù)學(xué)家盧道夫打破。

祖沖之還給出π的兩個分?jǐn)?shù)形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位，在西方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn)。祖沖之還和兒子祖暅之一起圓滿地利用「牟合方蓋」解決了球體積的計(jì)算問題，得到正確的球體積公式。

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2.? 天文歷法

祖沖之創(chuàng)制了《大明歷》，最早將歲差引進(jìn)歷法；采用了391年加144個閏月的新閏周；首次精密測出交點(diǎn)月日數(shù)（27.21223），回歸年日數(shù)（365.2428）等數(shù)據(jù)，還發(fā)明了用圭表測量冬至前后若干天的正午太陽影長以定冬至?xí)r刻的方法。

祖沖之在天文歷法方面的成就，大都包含在他所編制的《大明歷》及為大明歷所寫的駁議中。

在祖沖之之前，人們使用的歷法是天文學(xué)家何承天編制的《元嘉歷》。祖沖之經(jīng)過多年的觀測和推算，發(fā)現(xiàn)《元嘉歷》存在很大的差誤。于是祖沖之著手制定新的歷法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他編制成了《大明歷》。大明歷在祖沖之生前始終沒能采用，直到梁武帝天監(jiān)九年（公元510年）才正式頒布施行?！洞竺鳉v》的主要成就如下：

區(qū)分了回歸年和恒星年，首次把歲差引進(jìn)歷法，測得歲差為45年11月差一度（今測約為70.7年差一度）。歲差的引入是中國歷法史上的重大進(jìn)步。

定一個回歸年為365.24281481日（今測為365.24219878日），直到南宋寧宗慶元五年（公元1199年）楊忠輔制統(tǒng)天歷以前，它一直是最精確的數(shù)據(jù)。

采用391年置144閏的新閏周，比以往歷法采用的19年置7閏的閏周更加精密。

定交點(diǎn)月日數(shù)為27.21223日（今測為27.21222日）。交點(diǎn)月日數(shù)的精確測得使得準(zhǔn)確的日月食預(yù)報成為可能，祖沖之曾用大明歷推算了從元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年間發(fā)生的4次月食時間，結(jié)果與實(shí)際完全符合。得出木星每84年超辰一次的結(jié)論，即定木星公轉(zhuǎn)周期為11.858年（今測為11.862年）。

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3.? 機(jī)械制造

他設(shè)計(jì)制造過水碓磨、銅制機(jī)件傳動的指南車、千里船、定時器等等。此外，他在音律、文學(xué)、考據(jù)方面也有造詣，他精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。是歷史上少有的博學(xué)多才的人物。

為紀(jì)念這位偉大的古代科學(xué)家，人們將月球背面的一座環(huán)形山命名為“祖沖之環(huán)形山”，把小行星1888命名為“祖沖之小行星”。

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